Introduction à la notation binaire

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Présentation du binaire

Vers la fin des années 30, Claude Shannon démontra qu'à l'aide de "contacteurs" (interrupteurs) fermés pour "vrai" et ouverts pour "faux" il était possible d'effectuer des opérations logiques en associant le nombre " 1 " pour "vrai" et "0" pour "faux".

Ce codage de l'information est nommé base binaire. C'est avec ce codage que fonctionnent les ordinateurs. Il consiste à utiliser deux états (représentés par les chiffres 0 et 1) pour coder les informations. L'homme travaille quant à lui avec 10 chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), on parle alors de base décimale.

Le bit

Bit signifie "binary digit", c'est-à-dire 0 ou 1 en numérotation binaire. C'est la plus petite unité d'information manipulable par une machine numérique.
Il est possible de représenter physiquement cette information binaire :

  • par un signal électrique ou magnétique, qui, lorsqu'elle atteint une certaine valeur, correspond à la valeur 1.
  • par des aspérités géométriques dans une surface.
  • grâce à des bistables, c'est-à-dire des composants électroniques qui ont deux états d'équilibre (un correspond à l'état 1, l'autre à 0)

Avec un bit il est ainsi possible d'obtenir deux états: soit 1, soit 0.
2 bits rendent possible l'obtention de quatre états différents (2*2):

0 0
0 1
1 0
1 1

Avec 3 bits il est possible d'obtenir huit états différents (2*2*2):

0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

Pour un groupe de n bits, il est possible de représenter 2n valeurs.

L'octet

L'octet est une unité d'information composée de 8 bits. Il permet de stocker un caractère, telle qu'une lettre, un chiffre ...
Ce regroupement de nombres par série de 8 permet une lisibilité plus grande, au même titre que l'on apprécie, en base décimale, de regrouper les nombres par trois pour pouvoir distinguer les milliers. Par exemple le nombre 1 256 245 est plus lisible que 1256245.

Une unité d'information composée de 16 bits est généralement appelée mot (en anglais word)

Une unité d'information de 32 bits de longueur est appelée double mot (en anglais double word, d'où l'appelation dword).

Pour un octet, le plus petit nombre est 0 (représenté par huit zéros 00000000), le plus grand est 255 (représenté par huit chiffre "un" 11111111), ce qui représente 256 possibilités de valeurs différentes.

27 =128 26 =64 25 =32 24 =16 23 =8 22 =4 21 =2 20 =1
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1

KiloOctets, MégaOctets

Longtemps l'informatique s'est singularisée par l'utilisation de différentes valeurs pour les unités du système international. Ainsi beaucoup d'informaticiens ont appris que 1 kilooctet valait 1024 octets. Or, depuis décembre 1998, l'organisme international IEC a statué sur la question (http://physics.nist.gov./cuu/Units/binary.html). Voici donc les unités standardisées :

  • Un kilooctet (ko) = 1000 octets
  • Un Mégaoctet (Mo) = 1000 Ko = 1 000 000 octets
  • Un Gigaoctet (Go) = 1000 Mo = 1 000 000 000 octets
  • Un Téraoctet (To) = 1000 Go = 1 000 000 000 000 octets

Nota Attention ! De nombreux logiciels (parfois même certains systèmes d'exploitation) utilisent toujours la notation antérieure à 1998 pour laquelle :
  • Un kilooctet (ko) = 210 octets = 1024 octets
  • Un Mégaoctet (Mo) = 220 octets = 1024 Ko = 1 048 576 octets
  • Un Gigaoctet (Go) = 230 octets = 1024 Mo = 1 073 741 824 octets
  • Un Téraoctet (To) = 240 octets = 1024 Go = 1 099 511 627 776 octets

L'IEC a également défini le kilo binaire (kibi), le méga binaire (Mébi), le giga binaire (Gibi), le tera binaire (Tebi).
Voici leurs définitions :

  • Un kibioctet (kio) vaut 210 = 1024 octets
  • Un Mébioctet (Mio)vaut 220 =1 048 576 octets
  • Un Gibioctet (Gio) vaut 230 =1 073 741 824 octets
  • Un Tébioctet (Tio) vaut 240 =1 099 511 627 776 octets
Il est également utile de noter que la communauté internationale dans son ensemble utilise préférentiellement le nom de "byte" plutôt que le terme "octet" purement francophone. Cela donne les notations suivantes pour kilobyte, mégabyte, gigabyte et terabyte : 
kB, MB, GB, TB
Nota Notez l'utilisation d'un B majuscule pour différencier Byte et bit.

Les opérations en binaire

Les opérations arithmétiques simples telles que l'addition, la soustraction et la multiplication sont faciles à effectuer en binaire.

L'addition en binaire

L'addition en binaire se fait avec les mêmes règles qu'en décimale:
On commence à additionner les bits de poids faibles (les bits de droite) puis on a des retenues lorsque la somme de deux bits de mêmes poids dépasse la valeur de l'unité la plus grande (dans le cas du binaire: 1), cette retenue est reportée sur le bit de poids plus fort suivant...

Par exemple:

  0 1 1 0 1
+ 0 1 1 1 0
- - - - - -
  1 1 0 1 1

La multiplication en binaire

La table de multiplication en binaire est très simple:

  • 0x0=0
  • 0x1=0
  • 1x0=0
  • 1x1=1
La multiplication se fait en formant un produit partiel pour chaque digit du multiplieur (seul les bits non nuls donneront un résultat non nul). Lorsque le bit du multiplieur est nul, le produit partiel est nul, lorsqu'il vaut un, le produit partiel est constitué du multiplicande décalé du nombre de positions égal au poids du bit du multiplieur.

Par exemple:

    0 1 0 1 multiplicande
x   0 0 1 0 multiplieur
- - - - - -
    0 0 0 0
  0 1 0 1  
0 0 0 0    
- - - - - -
  0 1 0 1 0

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